| | | “尚未成功”的突破
| | 初级中学数学论文坦率说，在我个人的初级中学数学论文解题经历中，“尚未成功”乃至失败，实在是比激动人心的初级中学数学论文成功多得多．但是，“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果，而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”（见文［1］、［2］），我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助，但我能肯定地说，这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产，并且我的看法（包括本刊1998年开始的解题分析连载以及《数学解题学引论》一书）已引起了一部分同行的关注与共鸣，需要致歉的是，二三年来，关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复，今天的话题很大程度上是一种有意的弥补．下面，笔者要进行3个解题个案的分析，以展示如何由失败走向成功，又如何对浅层的成功进行深层的调控．
1．个案1—由失败中获取有用的信息
例1 若ａ、ｂ、ｃ为互不相等的实数，且ｘ／（ａ－ｂ）＝ｙ／（ｂ－ｃ）＝ｚ／（ｃ－ａ），求ｘ＋ｙ＋ｚ．
解：由等比定理得
ｘ／（ａ－ｂ）＝ｙ／（ｂ－ｃ）＝ｚ／（ｃ－ａ）
①
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）／［（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）＋（ｃ－ａ）］．
②
但是，②式的分母为零
（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）＋（ｃ－ａ）＝0，
③
我们的解题努力失败了．
评析：这是一个失败的解题案例，文［3］谈到了调整解题方向后的一些处理，其实都用到③式．所以，失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件，这是一个积极的收获，当我们将不成功的②式去掉，把目光同时注视①式与③式时，①式使我们看到了两条直线重合：
ｘＸ＋ｙＹ＋ｚ＝0，
④
（ａ－ｂ）Ｘ＋（ｂ－ｃ）Ｙ＋（ｃ－ａ）＝0．
⑤
而③式又使我们看到了直线⑤通过点
Ｘ＝1，
Ｙ＝1．
作一步推理，直线④也通过点（1，1），于是
ｘ＋ｙ＋ｚ＝0．
与文［3］相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：
第1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即③式．
第2，对①式、③式都作“着眼点的转移”，从解析几何的角度去看它们．
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